Câu hỏi của nguyễn thị ngân - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM

Bài này số to, mũ to nên UCT khá mệt:

Lấy pt (1) - 8 lần pt (2) ta được:

\(\left(x-2\right)^4=\left(y-4\right)^4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+2\\y=6-x\end{matrix}\right.\)

Gõ đề có sai không ạ?

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^4\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2x^6-x^4+y^4\\-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1-x^6+x^4-2x^3y^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế HPT²

\(\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=\left(x^3-y^2\right)^2+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^3-y^2\right)^2+1\) (1)

Có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}\le2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^2-y^2\right)^2+1\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) (1) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1\\\left(x^3-y^2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

\(2,\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y-15x=6y\left(2x-5-4y\right)\left(1\right)\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2y-x\right)\left(x^2-12y-15\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2y=x\\y=\frac{x^2-15}{12}\end{matrix}\right.\)

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:

\(y=\frac{x^2-15}{12}\) thay vào phương trình \(\left(2\right)\) ta được:

\(\frac{3x^2}{2\left(x^2-15\right)}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{4x^3}{x^2-15}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x^2-15}{24}\)

\(\Leftrightarrow\frac{36x^2}{x^2-15}-12\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}\left(x^2+16x-15\right)}+\left(x^2+16x-15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\6\sqrt{\frac{x^2}{x^2-15}}=\sqrt{\left(x^2+16x-15\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36\frac{x^2}{x^2-15}=x^2+16x-15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+16x-15\ge0\\36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Ta xét phương trình \(\left(3\right):36x^2=\left(x^2-15\right)\left(x^2+16x-15\right)\)

Vì: \(x=0\) Không phải là nghiệm. Ta chia cả hai vế p.trình cho \(x^2\) ta được:

\(36=\left(x-\frac{15}{x}\right)\left(x+16-\frac{15}{x}\right)\)

Đặt: \(x-\frac{15}{x}=t\Rightarrow t^2+16t-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-18\end{matrix}\right.\)

+ Nếu như:

\(t=2\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=2\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=5\)

+ Nếu như:

\(t=-18\Leftrightarrow x-\frac{15}{x}=-18\Leftrightarrow x^2+18x-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-9-4\sqrt{6}\\x=-9+4\sqrt{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-9-4\sqrt{6}\)

Trường hợp 2:

\(x=2y\) thay vào p.trình \(\left(2\right)\) ta được:

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4x}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{2x^3}{3x}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x}{4}\Leftrightarrow\frac{7}{6}x=\sqrt{\frac{11x^2}{12}}\Leftrightarrow x=0\left(ktmđk\right)\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left(x,y\right)=\left(5;\frac{5}{6}\right),\left(-9-4\sqrt{6};\frac{27+12\sqrt{6}}{2}\right)\)

Năm mới chắc bị lag @@ tớ sửa luôn đề câu 3 nhé :v

3, \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(x^2+y^2\right)+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\left(1\right)\\2xy+\frac{1}{x+y}=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow8\left(a^2-2b\right)+4b+\frac{5}{a^2}=13\)

\(\Leftrightarrow8a^2-12b+\frac{5}{a^2}=13\)

Ta cũng có \(\left(2\right)\Leftrightarrow2b+\frac{1}{a}=1\)

\(\Leftrightarrow2b=1-\frac{1}{a}\)

Thay vào (1) ta được :

\(8a^2+\frac{5}{a^2}-6\cdot\left(1-\frac{1}{a}\right)=13\)

\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}-6+\frac{6}{a}=13\)

\(\Leftrightarrow8a^2+\frac{5}{a^2}+\frac{6}{a}=19\)

Giải pt được \(a=1\)

Khi đó \(b=\frac{1-\frac{1}{1}}{2}=0\)

Ta có hệ :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a.\(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=14\\2x-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x=18\\2x-2y=4\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\4-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\-2y=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

vậy  hệ pt có ndn \(\left\{2;0\right\}\)

b.\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=0\\3x+2y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=0\\6x+4y=16\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}8x=16\\2x-4y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\4-4y=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\-4y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

vậy hệ pt có ndn \(\left\{2;1\right\}\)

d.\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\)

đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b\) ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{12}\\8a+15b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+8b=\dfrac{2}{3}\\8a+15b=1\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}7b=\dfrac{1}{3}\\8a+15b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\8a+15\times\dfrac{1}{21}=1\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\8a+\dfrac{5}{7}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\8a=\dfrac{2}{7}\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\a=\dfrac{1}{28}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{21}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{28}\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=21\\x=28\end{matrix}\right.\)

vậy hệ pt có ndn\(\left\{28;21\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(xy+1\right)=x\left(x+y\right)+2\left(1\right)\\3xy-x+3=\sqrt{x+2y+1}+\sqrt{x+4y+4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đk: \(x+2y+1\ge0,x+4y+4\ge0\)

\(\left(1\right)\Rightarrow2xy+2=x^2+xy+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=y\end{matrix}\right.\) 

*Khi \(x=0\), thay vào (2) ta được pt: \(\sqrt{2y+1}+\sqrt{4y+4}=3\)

Giải bằng phương pháp bình phương 2 vế ta được \(y=0\).

Thay \(x=y=0\) vào đk hoàn toàn thỏa mãn.

*Khi \(x=y\), thay vào (2) ta được pt: \(3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\) .

Mình không giải được nhưng pt có nghiệm \(x=0\) nên suy ra \(y=0\)Vậy hệ pt ban đầu có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\).